Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения MS Excel.

Иванов Иван

При прохождении темы численные методы учащиеся уже умеют работать с электронными таблицами и составлять программы на языке паскаль. Работа комбинированного характера.Расчитана на 40 минут. Цель работы повторить и закрепить навыки паботы с программами EXCEL, ABCPascal. Материал содержит 2 файла. Один содержит теоретический материал, так как он и предлагается ученику. Во 2-м файле пример работы ученика Иванова Ивана.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Решение уравнений

Аналитическое решение некоторых уравнений, содержащих, например тригонометрические функции может быть получено лишь для единичных частных случаев. Так, например, нет способа решить аналитически даже такое простое уравнение, как cos x=x

Численные методы позволяют найти приближенное значение корня с любой заданной точностью.

Приближённое нахождение обычно состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. установление возможно точных промежутков , в которых содержится только один корень уравнения;

2) уточнение приближённых корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Мы будем рассматривать решения уравнений вида f(x)=0. Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а.Ь]. Значение х 0 называется корнем уравнения если f(х 0 )=0

Для отделения корней будем исходить из следующих положений:

• Если f(a)* f(b] \a, b\ существует, по крайней мере, один корень
• Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке , и f(a)*f(b) и f "(x) на интервале (a, b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а, b] существует единственный корень уравнения

Приближённое отделение корней можно провести и графически. Для этого уравнение (1) заменяют равносильным ему уравнением р(х) = ф(х), где функции р(х) и ф(х] более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = р(х) и у = ф(х), искомые корни получим, как абсциссы точек пересечения этих графиков

Метод дихотомии

Для уточнения корня разделим отрезок [а, b] пополам и вычислим значение функции f(х) в точке x sr =(a+b)/2. Выбираем ту из половин или , на концах которых функция f(x) имеет противоположные знаки.. Продолжаем процесс деления отрезка пополам и проводим то же рассмотрение до тех пор, пока. длина станет меньше заданной точности . В последнем случае за приближённое значение корня можно принять любую точку отрезка (как правило, берут его середину). Алгоритм высокоэффективен, так как на каждом витке (итерации) интервал поиска сокращается вдвое; следовательно, 10 итераций сократят его в тысячу раз. Сложности могут возникнуть с отделением корня у сложных функций.

Для приближенного определения отрезка на котором находится корень можно воспользоваться табличным процессором, построив график функции

ПРИМЕР : Определим графически корень уравнения . Пусть f1(х) = х , a и построим графики этих функций. (График). Корень находится на интервале от 1 до 2. Здесь же уточним значение корня с точностью 0,001(на доске шапка таблицы)

Алгоритм для программной реализации

1. а:=левая граница b:= правая граница
2. m:= (a+b)/2 середина
3. определяем f(a) и f(m)
4. если f(a)*f(m)
5. если (a-b)/2>e повторяем, начиная с пункта2
   

Метод хорд.

Точки графика функции на концах интервала соединяются хордой. Точка пересечения хорды и оси Ох (х*) и используется в качестве пробной. Далее рассуждаем так же, как и в предыдущем методе: если f(x a ) и f(х*) одного знака на интервале, нижняя граница переносится в точку х*; в противном случае – переносим верхнюю границу. Далее проводим новую хорду и т.д.

Осталось только уточнить, как найти х*. По сути, задача сводится к следующей: через 2 точки с неизвестными координатами (х 1 , у 1 ) и (х 2 , у 2 ) проведена прямая; найти точку пересечения этой прямой и оси Ох.

Запишем уравнение прямой по двум точках:

В точке пересечения этой прямой и оси Ох у=0, а х=х*, то есть

Откуда

процесс вычисления приближённых значений продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений корня х„ и х п _1 не будет выполняться условие abs(xn-x n-1 ) е - заданная точность

Сходимость метода гораздо выше предыдущего

Алгоритм различается только в пункте вычисления серединной точки- пересечения хорды с осью абсцисс и условия останова (разность между двумя соседними точками пересечения)

Уравнения для самостоятельного решения: (отрезок в excel ищем самостоятельно)

1. sin(x/2)+1=x^2 (х=1,26)

1. x-cosx=0 (х=0,739)

1. x^2+4sinx=0 (х=-1,933)

1. x=(x+1) 3 (х=-2,325)

Пусть найдено приближенное значение корня уравнения f (x ) = 0, обозначим его x n . Расчетная формула метода Ньютона для определения очередного приближения x n +1 может быть получена двумя способами.

Первый способ выражает геометрический смысл метода Ньютона и состоит в том, что вместо точки пересечения графика функции y = f (x ) с осью OX , мы ищем точку пересечения с осью OX касательной, проведенной к графику функции в точке (x n , f (x n )) как показано на рис. 2.6. Уравнение касательной имеет вид .

Рис. 2.7. Метод Ньютона (касательных)

В точке пересечения касательной с осью OX переменная y = 0. Приравнивая y нулю, выразим x и получим формулу метода касательных :

(2.6)

Второй способ. Разложим функцию f (x ) в ряд Тейлора в окрестности точки x = x n :

Ограничимся линейными относительно (x – x n ) слагаемыми, приравняем нулю f (x ) и, выразив из полученного уравнения неизвестное x и обозначив его через x n +1 , мы получим формулу (2.6).

Приведем достаточные условия сходимости метода Ньютона.

Теорема 2.3. Пусть на отрезке выполняются условия:

1) функция и ее производные и непрерывны;

2) производные и отличны от нуля и сохраняют определенные постоянные знаки;

3) (функция меняет знак на отрезке).

Тогда существует отрезок , содержащий искомый корень уравнения , на котором итерационная последовательность схо­дит­­ся. Если в качестве нулевого приближения выбрать ту граничную точку , в которой знак функции совпадает со знаком второй производной, т.е. , то итерационная последовательность сходится монотонно (рис.2.8).

Доказательство . Так как непрерывна, меняет знак и монотонна на , то - интервал изоляции корня. Обозначим искомый корень через . Рас­смотрим функцию и найдем ее производную . Итак, непрерывна на , обращается в нуль в точке , так как в этой точке обращается в нуль функция . Следовательно, существует такой отре­зок (), что . Если возьмем ту часть отрезка, где , то , следовательно, функция возрастающая, но тогда последовательность является монотонной.

Рис. 2.8. Достаточные условия сходимости метода Ньютона

Замечание. Отметим, что метод хорд как раз идет с противоположной стороны, и оба этих метода т.о. могут друг друга дополнять, а возможен и комбинированный метод хорд-касательных .

Пример 2.7. Уточнить до 0,000001 методом Ньютона корень уравнения
sin 5x + x 2 – 1 = 0. За начальное значение принять x 0 = – 0,7.

Решение. Найдем производную .

В программе Excel введем расчетные формулы:

1) Введем формулы и обозначения в ячейках диапазона A 1:D 3 и скопируем вниз маркером заполнения ячейки с формулами: B 3 - до B 5,
C 2 - до C 5, D 2 - до D 5;

Таблица 2.9

Результаты расчетов приведены в таблице 2.10. Получено значение корня – 0,726631609 ≈ – 0,726632 с погрешностью 0,000001.

Таблица 2.10

Создадим функции в программе Excel для решения уравнения из примера 2.7 методом Ньютона.

В этом разделе приведены примеры решенных задач разных разделов вычислительной математики, выполненные в пакете электронных таблиц Excel.

Примеры решений по численным методам в Эксель

Задача 1. Найти стационарные точки, проверить их на экстремальность, а также найти все локальные и глобальные максимумы и минимумы.

Задача 2. Решить приближенно уравнение $2x^3+3x-9=0$

Задача 3. Уплотнить часть $$ таблицы заданной функции с шагом $H$, пользуясь интерполяционными формулами Ньютона. Составить таблицу конечных разностей. В каждом столбце, начиная с четвертого, будет на одно число меньше, чем в предыдущем. Результаты вычислений значений функции в промежуточных точках расположить в таблице. Интерполяционные формулы Ньютона дают хороший результат в случае, когда $t\in$. Если внутри отрезка $$, на котором требуется уплотнить таблицу, находится узловая точка $x_i$, то на каждом из отрезков $$ и $[_i; b]$ вычисления выполняются отдельно. Все задания выполнить в Excel

Задача 4. Решить систему методами Ньютона, Брауна, итераций.

Задача 5. Решить систему Ax=b методом Гаусса (схема частичного выбора). Вычислить определитель и обратную матрицу для данной матрицы на основе метода Гаусса.

Задача 6. Функция y=y(x) задана таблицей своих значений. Построить многочлены нулевой и первой степени, приближающие функцию по методу наименьших квадратов. Вычислить величину среднеквадратичного отклонения. Построить на одном чертеже точечный график функции и графики многочленов.

Задача 7. Вычислить интеграл от заданной функции f(x) на отрезке по формулам трапеций и Симпсона при делении отрезка на 12 равных частей. Повторить вычисления при делении отрезка на 6 равных частей. Записать ответ каждого метода, сохранив только верные цифры.

Задание: дано нелинейного уравнения f(x) = 0 на заданном отрезке . Требуется средствами табличного процессора Excel найти корни данного уравнения методом касательных с использованием циклических ссылок.

x-x 3 +1=0 a=1 b=2

Решение:

Найдем корень нелинейного уравнения в табличном процессоре Excel методом касательных с использованием циклических ссылок. Для нахождения корня будем использовать формулу:

Для включения режима циклических вычислений в Excel 2003 в меню Сервис/Параметры/вкладка Вычисления следует поставить флажок Итерации и флажок выбора вида ведения вычислений: автоматически. В MS Excel 2010 следует зайти в меню Файл/Параметры/Формулы и поставить флажок в поле "Включить итеративные вычисления" :

Найдем производную функции f(x)=x-x 3 +1

f’(x)=1-3x 2
В ячейку А3 введем значение а =1, ячейку В3 введем формулу расчета текущего значения х: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1)/(1-3*СТЕПЕНЬ(B3;2)))
В ячейку С3 введем формулу для контроля значения f(x): =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.
Получим корень уравнения в ячейке В3 х=1,325.

Введем начальное приближение в ячейку А3 =2. Но для того чтобы вычисления были правильные, недостаточно изменить число в ячейке А3 и запустить процесс вычислений. Потому что в этом случае вычисления продолжаться с последнего вычисленного ранее значения. Это значение, в ячейке В3, необходимо обнулить, для этого можно заново записать туда формулу или просто выбрать ячейку с формулой и дважды щелкнуть мышью на ней. После этого поставить курсор на ячейку с формулой и нажать клавишу Enter для запуска процесса итерационных вычислений.