Дробные уравнения с модулем примеры решения. Уравнения с модулем

Инструкция

Если модуль представлен в виде непрерывной функции, то значение ее аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: |х| = х, х ≥ 0; |х| = - х, х

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Легко заметить, что сложение и вычитание комплексных чисел подчиняется тому же правилу, что сложение и .

Произведение двух комплексных чисел равно:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Поскольку i^2 = -1, то конечный результат равен:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Операции возведения в степень и извлечения корня для комплексных чисел определяются так же, как и для действительных. Однако в комплексной области для любого числа существует ровно n таких чисел b, что b^n = a, то есть n корней n-ой степени.

В частности, это значит, что любое алгебраическое уравнение n-ой степени с одной переменной имеет ровно n комплексных корней, некоторые из которых могут быть и .

Видео по теме

Источники:

Лекция "Комплексные числа" в 2019

Корнем называют значок, обозначающий математическую операцию нахождения такого числа, возведение которого в указанную перед знаком корня степень должно дать число, указанное под этим самым знаком. Часто для решения задач, в которых присутствуют корни, недостаточно только рассчитать значение. Приходится осуществлять и дополнительные операции, одной из которых является внесение числа, переменной или выражения под знак корня.

Инструкция

Определите показатель степени корня. Показателем называют целое число, указывающее степень, в которую надо возвести результат вычисления корня, чтобы получить подкоренное выражение (то число, из которого извлекается этот корень). Показатель степени корня в виде верхнего индекса перед значком корня. Если этот не указан, это квадратный корень, степень которого равна двойке. Например, показатель корня √3 двум, показатель ³√3 равен трем, показатель корня ⁴√3 равен четырем и т.д.

Возведите число, которое требуется внести под знак корня, в степень, равную показателю этого корня, определенную вами на предыдущем шаге. Например, если нужно внести число 5 под знак корня ⁴√3, то показателем степени корня является четверка и вам надо результат возведения 5 в четвертую степень 5⁴=625. Сделать это можно любым удобным вам способом - в уме, с помощью калькулятора или соответствующих -сервисов, размещенных .

Внесите полученное на предыдущем шаге значение под знак корня в качестве множителя подкоренного выражения. Для использованного в предыдущем шаге примера с внесением под корень ⁴√3 5 (5*⁴√3), это действие можно так: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Упростите полученное подкоренное выражение, если это возможно. Для примера из предыдущих шагов это , что нужно просто перемножить числа, стоящие под знаком корня: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. На этом операция внесения числа под корень будет завершена.

Если в задаче присутствуют неизвестные переменные, то описанные выше шаги можно проделать в общем виде. Например, если требуется внести под корень четвертой степени неизвестную переменную x, а подкоренное выражение равно 5/x³, то вся последовательность действий может быть записана так: x*⁴√(5/x³)=⁴√(x⁴*5/x³)=⁴√(x*5).

Источники:

как называется знак корня

Действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение. Простейшее из квадратных уравнений, не имеющих корней среди действительных чисел - это x^2+1=0. При его решении получается, что x=±sqrt(-1), а согласно законам элементарной алгебры, извлечь корень четной степени из отрицательного числа нельзя.

Модуль – это абсолютная величина выражения. Чтобы хоть как-то обозначить модуль, принято использовать прямые скобки. То значение, которое заключено в ровных скобках, и является тем значением, которое взято по модулю. Процесс решения любого модуля заключается в раскрытии тех самых прямых скобок, которые математическим языком именуются модульными скобками. Их раскрытие происходит по определенному ряду правил. Также, в порядке решения модулей, находятся и множества значений тех выражений, которые находились в модульных скобках. В большей части всех случаев, модуль раскрывается таким способом, что выражение, которое было подмодульным, получает и положительные, и отрицательные значения, в числе которых также и значение ноль. Если отталкиваться от установленных свойств модуля, то в процессе составляются различные уравнения или же неравенства от исходного выражения, которые затем необходимо решить. Разберемся же с тем, как решать модули.

Процесс решения

Решение модуля начинается с записи исходного уравнения с модулем. Чтобы ответить на вопрос о том, как решать уравнения с модулем, нужно раскрыть его полностью. Для решения такого уравнения, модуль раскрывается. Все модульные выражения должны быть рассмотрены. Следует определить при каких значениях неизвестных величин, входящих в его состав, модульное выражение в скобках обращается в ноль. Для того чтобы это сделать, достаточно приравнять выражение в модульных скобках к нулю, а затем высчитать решение образовавшегося уравнения. Найденные значения нужно зафиксировать. Таким же способом нужно определить еще и значение всех неизвестных переменных для всех модулей в данном уравнении. Далее необходимо заняться определением и рассмотрением всех случаев существования переменных в выражениях, когда они отличны от значения ноль. Для этого нужно записать некоторую систему из неравенств соответственно всем модулям в исходном неравенстве. Неравенства должны быть составлены так, чтоб они охватывали все имеющиеся и возможные значения для переменной, которые находят на числовой прямой. Затем нужно начертить для визуализации эту самую числовую прямую, на которой в дальнейшем отложить все полученные значения.

Практически все сейчас можно сделать в интернете. Не является исключением из правил и модуль. Решить онлайн его можно на одном из многочисленных современных ресурсов. Все те значения переменной, которые находятся в нулевом модуле, будут особым ограничением, которое будет использовано в процессе решения модульного уравнения. В исходном уравнении требуется раскрыть все имеющиеся модульные скобки, при этом, изменяя знак выражения, таким образом, чтобы значения искомой переменной совпадали с теми значениями, которые видно на числовой прямой. Полученное уравнение необходимо решить. То значение переменной, которое будет получено в ходе решения уравнения, нужно проверять на ограничение, которое задано самим модулем. Если значение переменной полностью удовлетворяет условие, то оно является правильным. Все корни, которые будут получены в ходе решения уравнения, но не будут подходить по ограничениям, должны быть отброшены.

Не мы выбираем математику своей профессией, а она нас выбирает.

Российский математик Ю.И. Манин

Уравнения с модулем

Наиболее сложно решаемыми задачами школьной математики являются уравнения, содержащие переменные под знаком модуля. Для успешного решения таких уравнений необходимо знать определение и основные свойства модуля. Естественно, что учащиеся должны иметь навыки решения уравнений такого типа.

Основные понятия и свойства

Модуль (абсолютная величина) действительного числа обозначается и определяется следующим образом:

К простым свойствам модуля относятся следующие соотношения:

Отметим , что последние два свойства справедливы для любой четной степени.

Кроме того , если , где , то и

Более сложные свойства модуля , которые можно эффективно использовать при решении уравнений с модулями , формулируются посредством следующих теорем:

Теорема 1. Для любых аналитических функций и справедливо неравенство

Теорема 2. Равенство равносильно неравенству .

Теорема 3. Равенство равносильно неравенству .

Рассмотрим типовые примеры решения задач на тему «Уравнения , содержащие переменные под знаком модуля».

Решение уравнений с модулем

Наиболее распространенным в школьной математике методом решения уравнений с модулем является метод , основанный на раскрытии модулей. Этот метод является универсальным , однако в общем случае его применение может привести к весьма громоздким вычислениям. В этой связи учащиеся должны знать и другие , более эффективные методы и приемы решения таких уравнений. В частности , необходимо иметь навыки применения теорем , приведенных в настоящей статье.

Пример 1. Решить уравнение . (1)

Решение. Уравнение (1) будем решать «классическим» методом –методом раскрытия модулей. Для этого разобьем числовую ось точками и на интервалы и рассмотрим три случая.

1. Если , то , , , и уравнение (1) принимает вид . Отсюда вытекает . Однако здесь , поэтому найденное значение не является корнем уравнения (1).

2. Если , то из уравнения (1) получаем или .

Так как , то корень уравнения (1).

3. Если , то уравнение (1) принимает вид или . Отметим , что .

Ответ: , .

При решении последующих уравнений с модулем будем активно использовать свойства модулей с целью повышения эффективности решения подобных уравнений.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Так как и , то из уравнения следует . В этой связи , , , и уравнение принимает вид . Отсюда получаем . Однако , поэтому исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Так как , то . Если , то , и уравнение принимает вид .

Отсюда получаем .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение в равносильном виде . (2)

Полученное уравнение относится к уравнениям типа .

Принимая во внимание теорему 2, можно утверждать, что уравнение (2) равносильно неравенству . Отсюда получаем .

Ответ: .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение имеет вид . Поэтому , согласно теореме 3 , здесь имеем неравенство или .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Положим , что . Так как , то за данное уравнение принимает вид квадратного уравнения , (3)

где . Поскольку уравнение (3) имеет единственный положительный корень и , то . Отсюда получаем два корня исходного уравнения: и .

Пример 7. Решить уравнение . (4)

Решение. Так как уравнение равносильно совокупности двух уравнений: и , то при решении уравнения (4) необходимо рассмотреть два случая.

1. Если , то или .

Отсюда получаем , и .

2. Если , то или .

Так как , то .

Ответ: , , , .

Пример 8. Решить уравнение . (5)

Решение. Так как и , то . Отсюда и из уравнения (5) следует, что и , т.е. здесь имеем систему уравнений

Однако данная система уравнений является несовместной.

Ответ: корней нет.

Пример 9. Решить уравнение . (6)

Решение. Если обозначить , то и из уравнения (6) получаем

Или . (7)

Поскольку уравнение (7) имеет вид , то это уравнение равносильно неравенству . Отсюда получаем . Так как , то или .

Ответ: .

Пример 10. Решить уравнение . (8)

Решение. Согласно теореме 1 можно записать

(9)

Принимая во внимание уравнение (8), делаем вывод о том, что оба неравенства (9) обращаются в равенства, т.е. имеет место система уравнений

Однако по теореме 3 приведенная выше система уравнений равносильна системе неравенств

(10)

Решая систему неравенств (10) получаем . Так как система неравенств (10) равносильна уравнению (8), то исходное уравнение имеет единственный корень .

Ответ: .

Пример 11. Решить уравнение . (11)

Решение. Пусть и , тогда из уравнения (11) вытекает равенство .

Отсюда следует, что и . Таким образом, здесь имеем систему неравенств

Решением данной системы неравенств являются и .

Ответ: , .

Пример 12. Решить уравнение . (12)

Решение. Уравнение (12) будем решать методом последовательного раскрытия модулей. Для этого рассмотрим несколько случаев.

1. Если , то .

1.1. Если , то и , .

1.2. Если , то . Однако , поэтому в данном случае уравнение (12) корней не имеет.

2. Если , то .

2.1. Если , то и , .

2.2. Если , то и .

Ответ: , , , , .

Пример 13. Решить уравнение . (13)

Решение. Поскольку левая часть уравнения (13) неотрицательна, то и . В этой связи , и уравнение (13)

принимает вид или .

Известно , что уравнение равносильно совокупности двух уравнений и , решая которые получаем , . Так как , то уравнение (13) имеет один корень .

Ответ: .

Пример 14. Решить систему уравнений (14)

Решение. Так как и , то и . Следовательно, из системы уравнений (14) получаем четыре системы уравнений:

Корни приведенных выше систем уравнений являются корнями системы уравнений (14).

Ответ: ,, , , , , , .

Пример 15. Решить систему уравнений (15)

Решение. Так как , то . В этой связи из системы уравнений (15) получаем две системы уравнений

Корнями первой системы уравнений являются и , а из второй системы уравнений получаем и .

Ответ: , , , .

Пример 16. Решить систему уравнений (16)

Решение. Из первого уравнения системы (16) следует, что .

Так как , то . Рассмотрим второе уравнение системы. Поскольку , то , и уравнение принимает вид , , или .

Если подставить значение в первое уравнение системы (16) , то , или .

Ответ: , .

Для более глубокого изучения методов решения задач , связанных с решением уравнений , содержащих переменные под знаком модуля , можно посоветовать учебные пособия из списка рекомендуемой литературы.

1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: задачи повышенной сложности. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 200 с.

3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 296 с.

Остались вопросы?

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

А вычисляется в соответствии с такими правилами:

Для краткости записи применяют |а| . Так, |10| = 10; - 1 / 3 = | 1 / 3 |; | -100| =100 и т. д.

Всякой величине х соответствует достаточно точная величина |х |. И значит тождество у = |х | устанавливает у как некоторую функцию аргумента х .

График этой функции представлен ниже.

Для x > 0 |x | = x , а для x < 0 |x |= -x ; в связи с этим линия у = |x | при x > 0 совмещена с прямой у =х (биссектриса первого координатного угла), а при х < 0 - с прямой у = -х (биссектриса второго координатного угла).

Отдельные уравнения включают в себя неизвестные под знаком модуля .

Произвольные примеры таких уравнений - |х — 1| = 2, |6 — 2х | =3х + 1 и т. д.

Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля базируется на том, что если абсолютная величина неизвестного числа х равняется положительному числу а, то само это число х равняется или а, или -а.

Например :, если |х | = 10, то или х =10, или х = -10.

Рассмотрим решение отдельных уравнений .

Проанализируем решение уравнения |х - 1| = 2.

Раскроем модуль тогда разность х - 1 может равняться или + 2, или - 2. Если х - 1 = 2, то х = 3; если же х - 1 = - 2, то х = - 1. Делаем подставновку и получаем, что оба эти значения удовлетворяют уравнению.

Ответ. Указанное уравнение имеет два корня: x 1 = 3, x 2 = - 1.

Проанализируем решение уравнения | 6 — 2х | = 3х + 1.

После раскрытия модуля получаем: или 6 - 2х = 3х + 1, или 6 - 2х = - (3х + 1).

В первом случае х = 1, а во втором х = - 7.

Проверка. При х = 1 |6 — 2х | = |4| = 4, 3x + 1 = 4; от суда следует, х = 1 - корен ь данного уравнения .

При x = - 7 |6 — 2x | = |20| = 20, 3x + 1= - 20; так как 20 ≠ -20, то х = - 7 не является корнем данного уравнения.

Ответ. У уравнения единственный корень: х = 1.

Уравнения такого типа можно решать и графически .

Так решим, например , графически уравнение |х- 1| = 2.

Первоначально выполним построение графика функции у = |x — 1|. Первым начертим график функции у =х- 1:

Ту часть этого графика , которая расположена выше оси х менять не будем. Для нее х - 1 > 0 и потому |х -1|=х -1.

Часть графика, которая расположена под осью х , изобразим симметрично относительно этой оси. Поскольку для этой части х - 1 < 0 и соответственно |х - 1|= - (х - 1). Образовавшаяся в результате линия (сплошная линия) и будет графиком функции у = |х —1|.

Эта линия пересечется с прямой у = 2 в двух точках: M 1 с абсциссой -1 и М 2 с абсциссой 3. И, соответственно, у уравнения |х - 1| =2 будет два корня: х 1 = - 1, х 2 = 3.

Точилкина Юлия

В работе представлены различные способы решения уравнений с модулем.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 59»

Уравнения с модулем

Реферативная работа

Выполнила ученица 9А класса

МБОУ «СОШ № 59» г. Барнаула

Точилкина Юлия

Руководитель

Захарова Людмила Владимировна,

учитель математики

МБОУ «СОШ № 59» г. Барнаула

Барнаул 2015

Введение

Я учусь в девятом классе. В этом учебном году мне предстоит сдавать итоговую аттестацию за курс основной школы. Для подготовки к экзамену мы приобрели сборник Д. А. Мальцева Математика. 9 класс. Просматривая сборник, я обнаружила уравнения, содержащие не только один, но и несколько модулей. Учитель объяснила мне и моим одноклассникам, что такие уравнения называют уравнениями с «вложенными модулями». Такое название показалось для нас необычным, а решение на первый взгляд, довольно сложным. Так появилась тема для моей работы «Уравнения с модулем». Я решила глубже изучить эту тему, тем более, что она мне пригодится при сдаче экзаменов в конце учебного года и думаю, что понадобится в 10 и 11 классах. Все сказанное выше определяет актуальность выбранной мною темы.

Цель работы :

Рассмотреть различные методы решения уравнений с модулем.
Научиться решать уравнения, содержащие знак абсолютной величины, различными методами

Для работы над темой были сформулированы следующие задачи:

Задачи:

Изучить теоретический материал по теме «Модуль действительного числа».
Рассмотреть методы решения уравнений и закрепить полученные знания решением задач.
Полученные знания применять при решении различных уравнений, содержащих знак модуля в старших классах

Объект исследования: методы решения уравнений с модулем

Предмет исследования: уравнения с модулем

Методы исследования:

Теоретические : изучение литературы по теме исследования;

Internet – информации.

Анализ информации, полученной при изучении литературы; результатов полученных при решении уравнений с модулем различными способами.

Сравнение способов решения уравнений предмет рациональности их использования при решении различных уравнений с модулем.

«Мы начинаем думать, когда обо что-то стукнемся». Поль Валери.

1. Понятия и определения.

Понятие «модуль» широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это слово имеет множество значений и применяется не только в математике, физике и технике, но и в архитектуре, программировании и других точных науках.

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля был введен в XIX веке Вейерштрассом.

В архитектуре модуль– исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения.

В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль упругости, модуль зацепления…

В математике модуль имеет несколько значений, но я буду рассматривать его как абсолютную величину числа.

Определение1 : Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само это число, если а ≥0, или противоположное число – а , если а модуль нуля равен нулю.

При решении уравнений с модулем, удобно использовать свойства модуля.

Рассмотрим доказательства 5,6, 7 свойств.

Утверждение 5. Равенство │ а+в │=│ а │+│ в │ является верным, если ав ≥ 0.

Доказательство. Действительно, после возведения обеих частей данного равенства в квадрат, получим, │ а+в │²=│ а │²+2│ ав │+│ в │²,

а²+ 2 ав+в²=а²+ 2│ ав │+ в², откуда │ ав │= ав

А последнее равенство будет верным при ав ≥0.

Утверждение 6. Равенство │ а-в │=│ а │+│ в │ является верным при ав ≤0.

Доказательство. Для доказательства достаточно в равенстве

│ а+в │=│ а │+│ в │ заменить в на - в, тогда а· (- в ) ≥0, откуда ав ≤0.

Утверждение 7.Равенство │ а │+│ в │= а+в выполняется при а ≥0 и в ≥0.

Доказательство . Рассмотрев четыре случая а ≥0 и в ≥0; а ≥0 и в а в ≥0; а в а ≥0 и в ≥0.

(а-в ) в ≥0.

Геометрическая интерпретация

|а| - это расстояние на координатной прямой от точки с координатой а , до начала координат.

|-а| |а|

А 0 а х

Геометрическое толкование смысла |а| наглядно подтверждает, что |-а|=|а|

Если а 0, то на координатной прямой существует две точки а и –а, равноудаленные от нуля, модули которых равны.

Если а=0, то на координатной прямой |а| изображается точкой 0.

Определение 2: Уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Например: |х +3|=1

Определение 3: Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

2. Методы решения

Из определения и свойств модуля вытекают основные методы решения уравнений с модулем:

«Раскрытие» модуля (т.е. использование определения);
Использование геометрического смыла модуля (свойство 2);
Графический метод решения;
Использование равносильных преобразований (свойства 4,6);
Замена переменной (при этом используется свойство 5).
Метод интервалов.

Я решила достаточно большое количество примеров, но в работе представляю вашему вниманию только несколько, на мой взгляд, типичных примеров, решенных различными способами, потому что остальные дублируют друг друга и чтобы понять, как решать уравнения с модулем нет необходимости рассматривать все решенные примеры.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ | f(x)| = a

Рассмотрим уравнение | f(x)| = a, а R

Уравнение данного вида может быть решено по определению модуля:

Если а то уравнение корней не имеет.

Если а= 0, то уравнение равносильно f(x)=0.

Если а>0, то уравнение равносильно совокупности

Пример. Решить уравнение |3х+2|=4.

Р е ш е н и е.

|3х+2|=4, тогда 3х+2=4,

3х+2= -4;

Х=-2,

Х=2/3

О т в е т: -2;2/3.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ с ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СВОЙСТВА МОДУЛЯ.

Пример 1. Решить уравнение /х-1/+/х-3/=6.

Решение.

Решить данное уравнение значит найти все такие точки на числовой оси Ох, для каждой из которых сумма расстояний от нее до точек с координатами 1 и 3 равна 6.

Ни одна точка из отрезка не удовлетворяет этому условию, т.к. сумма указанных расстояний равна 2. Вне этого отрезка есть две точки это 5 и -1.

1 1 3 5

Ответ: -1;5

Пример 2. Решить уравнение |х 2 +х-5|+|х 2 +х-9|=10.

Решение.

Обозначим х 2 +х-5= а, тогда / а /+/ а-4 /=10. Найдем точки на оси Ох такие, что для каждой из них сумма расстояний до точек с координатами 0 и 4 равна 10. Этому условию удовлетворяют -4 и 7.

3 0 4 7

Значит х 2 +х-5= 4 х 2 +х-5=7

Х 2 +х-2=0 х 2 +х-12=0

Х 1= 1, х 2= -2 х 1= -4, х 2= 3 Ответ:-4;-2; 1; 3.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ | f (x )| = | g (x )|.

Так как | а |=|в |, если а= в, то уравнение вида | f (x )| = | g (x )| равносильно совокупности

Пример1.

Решить уравнение | x –2| = |3 – х |.

Р е ш е н и е.

Данное уравнение равносильно двум уравнениям:

х – 2 = 3 – х (1) и х – 2 = –3 + х (2)

2 х = 5 –2 = –3 – неверно

х = 2,5 уравнение не имеет решений.

О т в е т: 2,5.

Пример 2.

Решить уравнение |х 2 +3х-20|= |х 2 -3х+ 2|.

Р е ш е н и е.

Так как обе части уравнения неотрицательны, то возведение в квадрат является равносильным преобразованием:

(х 2 +3х-20) 2 = (х 2 -3х+2) 2

(х 2 +3х-20) 2 - (х 2 -3х+2) 2 =0,

(х 2 +3х-20-х 2 +3х-2) (х 2 +3х-20+х 2 -3х+2)=0,

(6х-22)(2х 2 -18)=0,

6х-22=0 или 2х 2 -18=0;

Х=22/6, х=3, х=-3.

Х=11/3

Ответ: -3; 3; 11/3.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА | f (x )| = g (x ).

Отличие данных уравнений от | f(x)| = a в том, что в правой части тоже переменная. А она может быть как положительной, так и отрицательной. Поэтому в ее неотрицательности нужно специально убедиться, ведь модуль не может равняться отрицательному числу (свойство №1 )

1 способ

Решение уравнения | f (x )| = g (x ) сводится к совокупности решения уравнений и проверке справедливости неравенства g (x )>0 для найденных значений неизвестной.

2 способ (по определению модуля)

Так как | f (x )| = g (x ), если f (x) = 0; | f (x )| = - f (x ), если f (x )

Пример.

Решить уравнение |3 х –10| = х – 2.

Р е ш е н и е.

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

О т в е т: 3; 4.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(х)

Решение уравнений данного вида основано на определении модуля. Для каждой функции f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) необходимо найти область определения, ее нули и точки разрыва, разбивающие общую область определения на промежутки, в каждом из которых функции f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) сохраняют свой знак. Далее используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, которое необходимо решить на данном промежутке. Данный метод получил название « метод интервалов »

Пример .

Решить уравнение |х-2|-3|х+4|=1.

Р е ш е н и е.

Найдем точки, в которых подмодульные выражения равны нулю

х-2=0, х+4=0,

х=2; х=-4.

Разобьем числовую прямую на промежутки х

Решение уравнения сводится к решению трех систем:

О т в е т: -15, -1,8.

ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЗНАК МОДУЛЯ.

Графический способ решения уравнений является приближенным, так ка точность зависит от выбранного единичнрого отрезка, толщины карандаша, углов под которыми пересекаются линии и т.д. Но этот метод позволяет оценивать сколько решений имеет то или иное уравнение.

Пример . Решить графически уравнение |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9

Решение. Построим в одной системе координат графики функций

у=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| и у=9.

Для построения графика необходимо рассмотреть данную функцию на каждом промежутке (-∞; 2); [ 3/2 ; ∞ )

Ответ: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ )

Метод равносильных преобразований мы использовали и при решении уравнений | f (x )| = | g (x )|.

УРАВНЕНИЯ СО «СЛОЖНЫМ МОДУЛЕМ»

Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя различные методы.

Пример 1.

Решить уравнение ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.

Решение.

По определению модуля, имеем:

Решим первое уравнение.