Основы построения графиков. Логарифмическая шкала в волновом анализе Построение логарифмической шкалы

Построение графиков и пользование ими становится затруднительными, если величины, откладываемые вдоль координатных осей, изменяются очень в больших пределах. В этом случае используется логарифмический масштаб, позволяющий значительно расширить пределы изменения функций наносимых на график, без увеличения размеров чертежа. Для этого вдоль координатных осей откладывается вместо значений функций десятичные логарифмы этих значений, а полученным точкам присваиваются названия откладываемых значений. В результате применения логарифмического масштаба по одной из координатных осей кривизна графиков уменьшается, а зависимости, близкие к показательной функции, приближаются к прямым линиям.

Практическое построение координатной сетки логарифмического масштаба (рис. 5) осуществляется следующим образом. Одну или обе координатные оси разбивают на равные отрезки, каждый из которых соответствует увеличению в 10 раз. После этого каждый отрезок делят на девять неравных частей, откладывая от левого (или нижнего) конца отрезка 0,3; 0,47; 0,6; 0,7; 0,78; 0,85; 0,9 и 0,95 его длины.

Полученным точкам деления присваивают названия десятых долей отрезка.

Если по одной оси координат принят логарифмический масштаб, а по другой – обычный (линейный), то такую координатную сетку называют полулогарифмической (рис. 6).

В качестве примера использования логарифмического масштаба см. графики зависимостей ρ (N ), приведенные в прил. 5.

П 5. графики Зависимостей удельного сопротивления от концентрации примесей для Si и Ge при 300 К

П 6. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЫСОТЫ БАРЬЕРА ШОТТКИ φ b , эВ ПРИ 300 К

П 7. графики зависимости разности работ выхода φ ms от уровня легирования кремниевой подложки для МДП-структур

с затворными электродами из Al, Au и поликремния n + и p + -типа

П 8. Неперы и децибелы

В различных приложениях электроники часто приходится иметь дело с относительными величинами (коэффициент усиления или ослабления, превышение сигнала над помехой, уровни передачи, отсчитываемые от некоторого исходного уровня и т.д.). На практике оказалось удобным вместо отношений мощностей, напряжений и токов оперировать с логарифмами этих отношений.

Если используются натуральные логарифмы, то отношения напряжений и токов выражают в неперах по формулам

а отношение мощностей – по формуле

Эти числа называют относительными уровнями в неперах по напряжению (), по току () и по мощности (). Зная величины в начале цепи (исходные уровни) и относительные уровни в какой-либо точки цепи, легко определить для этой точки:

При использовании десятичных логарифмов отношения мощностей выражают в белах:

но чаще используют в 10 раз меньшую единицу, называемую децибелом (дб ).

Для напряжения и тока при этом получается:

Для расчета напряжений, токов или мощностей в какой-либо точки цепи по известным их значениям в начале цепи (исходные уровни ) и известным относительным уровням в децибелах следует пользоваться формулами:

Непер и децибел следующим образом связаны друг с другом:

1 неп =8,686 дб ;

1 дб =0,115 неп .

П 9. ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ

1. Варизонные полупроводники и гетероструктуры.

2. Диагностика глубоких энергетических уровней в полупроводниковых структурах.

3. Емкостные методы контроля параметров полупроводниковых структур.

4. Квантовый эффект Холла в двумерном электронном газе.

5. Линейные дефекты в кремнии и их влияние на его электрофизические свойства.

6. Молекулярная электроника.

7. Наноэлектроника, наноэлектронные структуры и способы их формирования.

8. Применение квантово-размерных структур в приборах микро - и наноэлектроники.

9. Проблемы полупроводниковой элементной базы на основе спиновых взаимодействий.

10. Проблемы одноэлектроники. Применение одноэлектрон-ных приборов.

11. Размерное квантование и квантово-размерные структуры.

12. Светодиоды (физика, конструкции, технология, рабочие характеристики).

13. Свойства и перспектива применения углеродных нанотрубок в электронике.

14. Сенсоры температуры на основе полупроводниковых структур.

15. Сенсоры давления на основе полупроводниковых структур.

16. Сенсоры газов на основе полупроводниковых структур.

17. Сенсоры влажности на основе полупроводниковых структур.

18. Сенсоры электромагнитных излучений на основе полупроводниковых структур.

19. Сканирующая зондовая микроскопия материалов и структур наноэлектроники.

20. Солнечные элементы на однородных и неоднородных p-n-переходах.

21. Солнечные элементы на поверхностных и тонкопленочных полупроводниковых структурах.

22. Физические и технологические ограничения традиционного направления развития микроэлектроники.

23. Физические проблемы надежности интегральных микросхем.

24. Физические проблемы создания нанотранзистора.

25. Фотодетекторы (фоторезисторы, фотодиоды, фототранзисторы).

26. Фотоэлектрические явления в квантовых ямах.

27. Функциональные магнитоэлектрические устройства.

28. Функциональные устройства на основе приборов с зарядовой связью.

29. Функциональные устройства на основе объемного отрицательного сопротивления.

Обозначим две задачи, которые периодически возникают в практике волновых аналитиков (рисунок 1).

Задача №1. На некотором рынке волна I соединила уровни 100 и 400. Третья волна стартовала на отметке 250 и достигла цели в 1000. Как соотносятся волны I и III?
Задача №2. На некотором рынке волна А соединила уровни 400 и 100. Волна С, которая началась на отметке 250, составляет 161.8% от А. На каком уровне завершается волна С?

Рисунок 1 - волновые формации в обычных координатах.

Рисунок 2 - волновые формации в логарифмических координатах.

Действующие волны в наших задачах весьма значительны (цены изменяются в разы) - на таких расстояниях нужно использовать логарифмический масштаб. Перестроим наш график в логарифмический (рисунок 2) и обозначим разворотные точки a-d (не путайте с волнами зигзага). Пропорции между волнами находим из уравнения:

Когда использовать логарифмическую шкалу?

В известных книгах по волновой теории вопрос применения логарифмов толком не прояснён. Так или иначе признаётся, что прогресс цивилизации идёт логарифмически, а рост на 10 пунктов с уровня 10 и аналогичный рост с уровня 100 это два принципиально разных движения, которые не могут иметь одинаковый размер. Но где граница между традиционным арифметическим и логарифмическим масштабами?

На просторах сети можно встретить указание использовать логарифмы если изменение котировок превышает 3 раза. На первый взгляд, это логично, но при детальном рассмотрении появляется одна важная нестыковка - как поступать с волнами старших порядков, которые не укладываются в установленные рамки. Неужели придётся использовать сразу две шкалы - логарифмическую для глобальных разметок и обычную на каждый день?

Следующий пример наглядно поясняет всю противоречивость такого подхода. На рисунке 3 слева показан график курса доллара с 2014-го года в логарифмическом масштабе, а справа - традиционный ценовой график с лета 2015-го. Во втором случае мы имели полное право рисовать импульс с растянутой пятой, хотя логарифмы явно запрещали этот сценарий, ибо предполагаемая волна 3 оказалась короче первой, а растяжения не выполнялись от слова совсем.

Рисунок 3 - график USDRUB в логарифмических и обычных координатах.

Чтобы избежать подобных конфликтов и соблюсти единообразие я советую всегда использовать логарифмическую шкалу. Она универсальна. На старших фреймах она единственная покажет правильные пропорции между волнами и ей нет никакой альтернативы. Если ценовые изменения незначительны, то логарифмические пропорции совпадут с обычными арифметическими, так что мы ничего не нарушим и при этом нам не придётся переключаться с одного масштаба на другой.

Отмечу, что некоторые аналитики допускают возможность измерения волн не только в логарифмах, но и в разах или процентах. На мой взгляд, подобный подход является в чистом виде самодеятельностью и не имеет под собой никаких теоретических обоснований. Кроме того, совершенно не понятно как построить такие волны на графике.

Почему используется именно логарифм?

Давайте посмотрим откуда берутся логарифмические координаты. Как было сказано, рост на 10 пунктов с уровня 10 и аналогичный рост с уровня 100 это два разных движения. Чем выше поднимается рынок, тем проще ему расти относительно стартовой точки. Если мы планируем избавиться от этого казуса, нам придётся разбить всё движение на бесконечно мелкие части и поднимать точку отсчёта на каждом шаге.

Возьмём два дискретных процесса. Первый из них моделирует подвижную точку отсчёта - значение x начинается с единицы и на каждом шаге прирастает на k% от предыдущего. Второй процесс линейный – значение y начинается с нуля и на каждом шаге увеличивается на k% от единицы. Теперь найдём такое преобразование, которое свяжет процессы X и Y при бесконечно малом k.

Переход от обычной шкалы к логарифмической наглядно проиллюстрирован на рисунке 4. В линейном процессе (справа) размер шага постоянный и не зависит от того, с какого уровня начинается изменение цены. Логарифмический процесс (слева) избавлен от этого недостатка - чем больше текущее значение цены, тем больше дискретный шаг.

Рисунок 4 - сравнение процессов изменения цены в разных масштабах.

Как можно понять, логарифмический масштаб скрадывает изменения цены, сделанные в верхней части графика и растягивает тренды из «подвала». Так, волна роста по индексу Доу с 1974-го по 2001-ый год в обычной системе координат превысила 1200% от волны роста с 1942-го по 1966-ой годы. В логарифмах эти волны соотносятся в пропорции 1.27.
Изображение на главной странице взято из фотобанка Лори

Логарифмическая шкала измерений, получаемая при логарифмическом преобразовании величины, описываемой шкалой отношений, или интервала в шкале разностей, т.е. шкала, определяемая зависимостью L = log ( X / X 0), где Х - текущее, а Х 0 - принятое по соглашению опорное значение преобразуемой величины.

Примечание. Выбор опорного значения Х 0 определяет нулевую точку логарифмической шкалы разностей.

Логарифмическая абсолютная шкала

Логарифмическая шкала измерений, получаемая логарифмическим преобразованием абсолютных шкал, когда в выражении L = log X под знаком логарифма X - безразмерная величина, описываемая абсолютной шкалой.

Примечание. Другое название этой разновидности шкалы - логарифмическая шкала с плавающим нулем.

Биофизическая шкала

Шкала измерений свойств физического фактора (стимула), модифицированная таким образом, чтобы по результатам измерений этих свойств можно было прогнозировать уровень или характер реакции биологического объекта на действие этого фактора.

Одномерная шкала

Шкала, используемая для измерений свойства объекта, характеризуемого одним параметром; результаты измерений в такой шкале выражаются одним числом или знаком (обозначением).

Многомерная шкала

Шкала, используемая для измерений свойства объекта, характеризуемая двумя или более параметрами; результаты измерений в такой шкале выражаются двумя или более числами или знаками (обозначениями).

Примечания.

1. Некоторые свойства, в принципе, невозможно описать одним параметром. Например, импеданс и комплексный коэффициент отражения описываются двумя параметрами, образующими двумерные шкалы; цвет описывается тремя координатами в моделях цветовых пространств, образующими трехмерные шкалы.

2. Многомерные шкалы могут быть образованы сочетанием шкал различных типов.

Спецификация шкалы измерений

Принятый по соглашению документ, в котором дано определение шкалы и (или) описание правил и процедур воспроизведения данной шкалы (или единицы шкалы, если она существует).

Примечания.

1. Некоторые метрические шкалы, например, шкалы массы и длины, полностью специфицируются стандартизованными определениями единиц измерений.

2. Спецификации многих, даже метрических шкал, кроме определения единиц измерений содержат дополнительные положения. Например, спецификация шкалы световых измерений содержит не только определение единицы измерений яркости - канделы, но и табулированную функцию относительной спектральной световой эффективности монохроматического излучения для дневного зрения.

Элементы шкал измерений

Основные понятия, необходимые для определения школ: класс эквивалентности, нуль, условный нуль, условная единица измерений, естественная (безразмерная) единица измерений, диапазон шкалы измерений.

Нуль шкалы

Элемент шкал порядка (некоторых), интервалов, отношений и абсолютных, их начальная точка.

Примечание . Различают естественный и условный нули шкал.

Естественный нуль шкалы

Начальная точка шкалы, соответствующая стремящемуся к нулю количественному проявлению измеряемого свойства.

Условный нуль шкалы

Точка шкалы разностей (интервалов) или шкалы порядка, которой по соглашению присвоено нулевое значение измеряемого свойства (величины).

Примечание. Шкала может простираться по обе стороны от точки условного нуля. Например, в наиболее распространенной календарной шкале за условный ноль принят день Рождества Христова. Поэтому общепринято обозначение "...лет до Рождества Христова".

Диапазон шкалы измерений Размер величины

Количественная определенность измеряемой величины, присущая конкретному объекту деятельности.

Значение величины

Оценка размера величины по соответствующей ей шкале в виде некоторого числа принятых для нее единиц, чисел, баллов или иных количественных знаков (обозначений).

Примечание. Для качественных свойств аналогичным термином является "оценка свойства".

Оценка свойства

Нахождение местоположения качественного свойства конкретного объекта деятельности на соответствующей шкале наименований.

Истинное значение величины

Значение величины, которое идеальным образом отражает положение на соответствующей ей шкале реализации количественного свойства конкретного объекта деятельности.

Примечание. Для качественных свойств аналогичным термином является "истинная оценка свойства".

Истинная оценка свойства

Оценка свойства, которая идеальным образом отражает положение на соответствующей шкале наименований реализации качественного свойства конкретного объекта деятельности.

Действительное значение величины

Значение величины, настолько близкое к истинному значению, что для данной цели может быть использована вместо нее.

Действительная оценка свойства

Оценка свойства, настолько близкая к истинной оценке, что для данной цели может быть использована вместо нее.

Единица измерений

Величина фиксированного размера, для которой условно (по определению) принято числовое значение, равное 1.

Примечания.

1. Термин "единица величины" является синонимом термина "единицы измерений".

2. Термин "единица физической величины", обозначающий более узкое понятие, применять не рекомендуется, так как невозможно определить границы его применения.

3. Понятие "единица измерений" не имеет смысла для свойств, описываемых шкалами наименований и порядка.

Моя задача помочь понять зачем нам (в науке вообще и в нашем проекте, в частности) потребовался это масштаб. Без него не обойтись когда есть необходимость представить величину сильно изменяющую свое значение на предполагаемом поле графика.

Попробуйте нарисовать в привычном вам линейном масштабе следующую зависимость

Ничего нагляднее приведенного справа графика не придумаешь. В графике такого (линейного) типа каждая клеточка по оси У имеет один и тот же размер в числах (на нашем графике одна клетка соответствует 2.

Но давайте попробуем рассмотреть шкалу у которой одна клеточка соответствует одному порядку величины. То есть, клеточка от 1 до 10 будет того же размера, что и клетка от 10 до 100; от 100 до 1000 или в другую сторону от 0,1 до 1 или от 0,01 до 0,1. Иными словами по оси У будем откладывать величины соответствующие логарифму У.

Тогда тот же график приобретет иной вид. На нем теперь хорошо видно значения всех точек и поведение кривой во всем диапазоне.

Как практически пользоваться (считывать данные с графика в логарифмической шкале? Очень просто и понятно из следующего рисунка.

Особо любознательным советую для общего развития познакомиться с тем, что такое логарифмическая линейка . С ее помощью достаточно просто производить умножение и деление чисел с точностью 2-3 знака. До появления калькуляторов и компьютеров все продавцы и бухгалтерские работники пользовались счетами, а инженеры и научные работники - логарифмическими линейками!

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ШКАЛА

(logarithmic scale) Шкала на диаграмме, где единицей измерения выступает значение логарифма переменной. Логарифмические шкалы используются прежде всего в диаграммах, в которых на одной, обычно горизонтальной шкале показано время, а на вертикальной оси – некая реальная или номинальная переменная, например ВВП или уровень цен. Угол наклона кривой в подобной диаграмме показывает пропорциональные темпы роста переменной, а постоянная пропорциональная тенденция роста представлена в виде прямой линии. Если на обеих осях используются логарифмические шкалы, то угол наклона кривой пропорционален ее эластичности. Ни нуль, ни отрицательные числа не могут быть показаны на логарифмической шкале. На обоих графиках (рис. 19) горизонтальные оси показывают время, а вертикальные оси обозначают реальный ВВП воображаемой страны. Рис. 19: Логарифмические шкалы На графике 1 используется натуральная шкала; на графике 2 используется логарифмическая шкала. Предполагается, что в этой стране происходят сменяющие друг друга экономические подъемы, каждый из которых продолжается пять лет, и кризисы, каждый из которых продолжается два года. График 1 позволяет апологетам правительства утверждать, что его политика экономического роста имеет успех, поскольку экономический рост в каждом последующем цикле увеличивается. В то же время он позволяет критикам правительства утверждать, что экономические циклы становятся все более тяжелыми, демонстрирующими некомпетентность политики стабилизации правительства. График 2 показывает ошибочность утверждений обеих сторон. В действительности экономический рост замедляется, но колебания в рамках цикла также становятся менее серьезными. (Цифры были подобраны таким образом, чтобы во время подъемов экономика последовательно увеличивалась на 100, 90, 80% и т.д. и во время кризисов последовательно сокращалась на 10, 9, 8% и т.д.)

• - специальным образом разграфленная бумага; обычно изготовляется типографским способом: на каждой из осей прямоугольной системы координат откладываются десятичные логарифмы чисел и и v...

  Математическая энциклопедия

• - см. в ст. Емкость...

  Математическая энциклопедия

• - спец. образом разграфлённая бумага, обычно изготовляется типографским способом: на каждой из осей пря-моуг. системы координат откладываются десятичные логарифмы чисел х и у, а затем через найденные точки...

• Естествознание. Энциклопедический словарь

• - счётный инстр-т для упрощения вычислений, с помощью к-рого операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел. Предназначена для инж. и пр. расчётов, когда достаточна точность в 2-3 знака...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - предложена Батуриным для гранулометрического анализа песчано-алевритовых п. Членами Ш.γ являются десятичные логарифмы размеров фракций, увеличенные в десять раз и взятые с обратным знаком: γ = -10lgε...

  Геологическая энциклопедия

• - специальным образом разграфленная бумага, обычно изготовляется типографским способом: на каждой из осей прямоугольной системы координат откладываются десятичные логарифмы чисел х и у, а прямые, параллельные осям....

  Большой экономический словарь

• - "...Шкала, построенная на основе систем логарифмов. Примечание. Для построения логарифмических шкал обычно используются системы десятичных или натуральных логарифмов, а также система логарифмов с основанием два.....

  Официальная терминология

• - "...Логарифмическая шкала измерений, получаемая логарифмическим преобразованием абсолютных шкал, когда в выражении L = log Х под знаком логарифма Х - безразмерная величина, описываемая абсолютной шкалой. Примечание...

  Официальная терминология

• - счётная линейка, - инструмент для приближённых вычислений, с помощью к-рого операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел. Обычная Л. л. состоит из корпуса, движка и прозрачного бегунка,...

  Большой энциклопедический политехнический словарь

• - см. Боевая локсодромия...

  Морской словарь

• - специальным образом разграфленная бумага; обычно изготовляется типографским способом...
• - счётная линейка, инструмент для несложных вычислений, с помощью которого операции над числами заменяются операциями над Логарифмами этих чисел. Л. л. состоит из корпуса, движка и бегунка, имеющего...

  Большая Советская энциклопедия

• - ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ бумага - специальным образом разграфленная бумага, обычно изготовляется типографским способом: на каждой из осей прямоугольной системы координат откладываются десятичные логарифмы чисел x и y, а...
• - то же, что логарифмика...

  Большой энциклопедический словарь

• - ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ линейка - счетный инструмент для упрощения вычислений, с помощью которого операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел...

  Большой энциклопедический словарь

"ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ШКАЛА" в книгах

ГЕОХРОНОЛОГИЧЕСКАЯ ШКАЛА